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本题需要用到欧拉常数和递推。
题意：有n个箱子，n把钥匙随机的放在里面，问打开所有箱子的期望。
解析：每种情况都相当于一个循环的置换个数。
循环置换个数求解：那么考虑f[i]为i个箱子的情况，f[i + 1]要么就是放在最后多一个循环，要么就是插入中间循环个数不变，对应的转移为f[i + 1] = (f[i] + 1) / i + f[i] * (i - 1) / i 化简得到f[i] = f[i - 1] + 1 / i 。即f[n] = 1 + 1/2 + ...+ 1/ n，是个调和级数。
调和级数(即f(n))至今没有一个完全正确的公式，但欧拉给出过一个近似公式：(n很大时)
f(n)≈ln(n)+C+1/2*n
欧拉常数值：C≈0.57721566490153286060651209
代码：
#include#include #define N 1000005#define C 0.577215664901double a[N];int main(){ int n; a[1] = 1; for(int i = 2; i < N; i++) a[i] = a[i-1] + 1.0 / i; while(~scanf("%d", &n)){ double ans; if(n < N) ans = a[n]; else ans = log(n) + C + 1/(2*n); printf("%.4lf\n", ans); } return 0;}
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